howto/mathematica †

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一行メモ †

(* ちょっと複雑な例 *)
inSin[A_, w_, k_, t_, x_] := A*Sin[w*t + k*x]
outSin[A_, w_, k_, t_, x_] := A*Sin[w*t - k*x + Pi]

cwInSin[\[Rho]0_, A_, w_, k_, t_, x_] := \[Rho]0/(1 + k*A*Cos[w*t + k*x])
cwOutSin[\[Rho]0_, A_, w_, k_, t_, x_] := \[Rho]0/(1 - k*A*Cos[w*t - k*x + Pi])
cwInSinPlusOutSin[\[Rho]0_, A_, w_, k_, t_, x_] := \[Rho]0/(1 + k*A*Cos[w*t + k*x] - k*A*Cos[w*t - k*x + Pi])

Manipulate[
 Plot[{
    inSin[A, w, k, t, x], outSin[A, w, k, t, x], 
    inSin[A, w, k, t, x] + outSin[A, w, k, t, x], x,
    (cwInSin[\[Rho]0, A, w, k, t, x] - \[Rho]0), (cwOutSin[\[Rho]0, A, w, k, t, x] - \[Rho]0), (cwInSinPlusOutSin[\[Rho]0, A, w, k, t, x] - \[Rho]0), (\[Rho]0)
  },
  {x, -3, 12}, PlotRange -> {-0.74*range, 0.74*range}, 
  AspectRatio -> ratio, ImageSize -> 600,
  PlotStyle -> {
    {Red, Thickness[0.0003]}, {Green, Thickness[0.0003]}, {Blue, Thickness[0.003]}, {Black, Thickness[0.0003]},
    {Magenta, Dashed, Thickness[0.002]}, {RGBColor[0, 0.7, 0], Dashed, Thickness[0.002]}, {Cyan, Thickness[0.004]}, {Black, Dashed, Thickness[0.0003]}
  },
  PlotLegends -> {
    "inSin 入射波", "outSin 反射波", "inSin+outSin 合成波", "x 参考",
    "cw InSin　入射波の密度変化", "cw OutSin 反射波の密度変化", "cw InSin+OutSin 合成波の密度変化", "\[Rho]0 波が無いときの媒質密度"
}],
{{ratio, 0.5, "ranito(縦横比を変更)"}, 1/10, 1, Appearance -> "Labeled"},
{{\[Rho]0, 3, "媒質の密度"}, 0, 5, Appearance -> "Labeled"},
{{range, 5, "range(縦軸幅を変更)"}, 1, 20, Appearance -> "Labeled"},
{{A, 0.45, "振幅(入射波,反射波)"}, 0, 1/(2*k), Appearance -> "Labeled"},
{{w, 1, "角振動数"}, 0, 10, Appearance -> "Labeled"},
{{k, 1, "波数"}, 0, 2, Appearance -> "Labeled"},
{{t, 0.544, "時刻"}, 0, 2*Pi/w, Appearance -> "Labeled"},
ControlPlacement -> {Top}
]

ver.11では次のように代替できそうである。

(* 複素関数のプロット 2021/12/13 *)
Options[ParametricPlot3DComplex] = {
   "inc" -> 0, (* Arg[]の結果にincを足す。z^(1/n)などの単純な場合のみ、リーマン面の葉を描くのに有効だろう。0は主分枝を描く。 *)
   "pRange" -> {Automatic, Automatic, {0, 5}}, (* プロットする範囲{実軸,虚軸,Abs軸} *)
   "LogAbs" -> "LogAbs", (* プロットの縦軸を対数にするかなど, Abs, LogAbs, LogLogAbs *)
   "domainScale" -> 1(* 定義域をdomainScale倍に広げる *)
   };
ParametricPlot3DComplex[funcz_, OptionsPattern[]] := 
 Module[{myAbs, myAxesLabel},
  Switch[ OptionValue["LogAbs"],
   "LogLogAbs",{(* Log Log scale *) myAbs = Log[Log[Abs[funcz /. {z -> x + I*y}]]]; myAxesLabel = {"Re", "Im", "LogLogAbs"};},
   "LogAbs",   {(* Log scale *)     myAbs = Log[Abs[funcz /. {z -> x + I*y}]];      myAxesLabel = {"Re", "Im", "LogAbs"};   },
   _,          {(* Normal scale *)  myAbs = Abs[funcz /. {z -> x + I*y}];           myAxesLabel = {"Re", "Im", "Abs"};      }
  ];
  ParametricPlot3D[{x, y, myAbs},
   {x, -3*OptionValue["domainScale"], 3*OptionValue["domainScale"]},
   {y, -3*OptionValue["domainScale"], 3*OptionValue["domainScale"]},
   PlotRange -> OptionValue["pRange"], AxesLabel -> myAxesLabel,
   ViewPoint -> {0, 0, Infinity} (*Above*),
   ColorFunction -> Function[{px, py, pz}, Hue[(Arg[funcz /. {z -> px + I*py}] + OptionValue["inc"])/(2*Pi)]],
   ColorFunctionScaling -> False,
   MeshFunctions -> {Function[{px, py, pz}, (Arg[funcz /. {z -> px + I*py}] + OptionValue["inc"])/(2*Pi)],
                     Function[{px, py, pz}, pz]},
   PlotStyle -> Opacity[1.0], Mesh -> 10, PlotPoints -> 30, MaxRecursion -> 5, 
   Lighting -> {{"Ambient", RGBColor[.8, .8, .8]}}]]

(* 複素関数のプロットのカラーマップ *)
ParametricPlot3DComplexColormap[] := Module[{anglelist},
  anglelist = {1, 1 + I, I, -1 + I, -1, -1 - I, -I, 1 - I, 1 - I/1000};
  MatrixForm[{
    Table[Hue[N[Arg[e]/(2*Pi)]], {e, anglelist}],(*Hue[負値]は、負値に整数が加えられ0～1に範囲になるようだ*)
    Table[N[Arg[e]/(2*Pi)], {e, anglelist}],
    Table[Arg[e], {e, anglelist}]}]]

実行例

ParametricPlot3DComplexColormap[]
nowrap
ParametricPlot3DComplex[Log[z], "inc"->0, "pRange"->{Automatic, Automatic, {0, 5}},
                                "LogAbs"->"Abs", "domainScale"->1]
や
ParametricPlot3DComplex[Log[z]]

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ParametricPlot3DComplex[Exp[z], "inc"->0, "pRange"->{Automatic, Automatic, {0, 7}},
                                "LogAbs"->"Abs", "domainScale"->2.09]

nowrap nowrap

(注)黒い波線は数値計算上の問題だろう

ParametricPlot3DComplex[z, "inc"->0, "pRange"->{Automatic, Automatic, {0, 5}},
                           "LogAbs"->"Abs", "domainScale"->1]

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[c.f.] https://mathrelish.com/mathematics/singularity-in-complex-analysis


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マニュアル・リンクなど †

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いろいろなこと †

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適度な印刷方法 †

「一般的な場合」
ファイル→印刷設定→印刷オプションで、
　　セルのブラケットを印刷と、領域マークを印刷のチェックをする、
　　マージン設定で上下左右の余白を5mmにする（左右の余白が大きすぎるため）
→A3でpdfとして印刷
→AcrobatでA4に縮小印刷
「長い数式を印刷する場合」
ファイル→印刷設定→印刷用環境
  →Condensedを選ぶ（表示画面と似た感じで、やや小さめのカラーで印刷できる）
  （Printoutだと白黒で行間がもう少し狭めになる）
ファイル→印刷設定→印刷オプション
  →マージンを 20mmに小さくする。
A2サイズ横で、pdf出力してから、pdfをA4サイズに縮小して印刷する。
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定数 †

虚数単位    I
ネイピア数  E
円周率      Pi
無限大      Infinity
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関数 †

Exp, Log
Sqrt
Abs, Arg
Sign
Sin, Cos, Tan
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ギリシャ文字の入力 †

\[Alpha] で α になる
\[Theta] で θ
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下付き、上付き、二次元式 †

下付き文字をつけたい文字を選択か文字の直後で、Ctrl+マイナス(-) を押す→プレースフォルダ
があらわれる
上付き文字をつけたい文字（べき乗になる）を選択し、Ctrl+^ を押す →プレースフォルダ
分子の入力後、Ctrl+/ で分数の分母を二次元式で入力できる、らしい
Ctrl-Enter で列ベクトルの次の行の入力ができる
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表示形式 †

InputForm["hogehoge"]    # 数式hogehogeを、一次元の形式（通常の入力に使われる形式）で表示
OutputForm["hogehoge"]   # 通常の画面に出る形式で表示

StandardForm["hogehoge"] # see manual（たぶん通常はOutputFormと同じ）
FullForm["hogehoge"]     # see manual（たぶん使うことはない）
Style[ hogehoge, Smaller ]  やや小さいフォントで出力する
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近似値、四捨五入など †

N[ hogehoge, [桁数] ]//InputForm
   # hogehogeを数値として表示する。
   # //InputFormを付けると一次元の入力形式で得られるが、
   # 指定した桁数以上（25～50桁など）が出力される。
   # 10のべき乗部分は、`桁数*^10 となる。
Round[...]    #数値で、四捨五入して出力
Floor[...]    #数値で、切り捨てして出力
Ceiling[...]  #数値で、切上げして出力
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極限 †

Limit[expr, x->a]  #exprのx->aの極限を計算する
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テーラー展開 †

Series[ expr, {x,x0,n} ]             #x=x0でn次までexprをテイラー展開する
Normal[ Series[ expr, {x,x0,n} ] ]   #余剰項を除く形を得る
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微分、積分 †

D[]           微分。高階微分はmanualをみよ
Integrate[ ]  積分。重積分はmanualをみよ

仮定付き積分の例） Integrate[s*Exp[-s^2/2], {s, 0, x}, Assumptions-> {x > 0}]
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方程式を解く †

Solve[ 式, 解く変数 ]

x /. Solve[ 式, x ]  (*xの解のみのリスト出力する
                      （Solveは変換規則のリストとして解を出力する。そのため、余分な所を消すのに置換表示している）*)
例）
Part[z /. Solve[1 - 3*z^2 + 2*z^3 == x, z], 1 ;; 3]  (*方程式をzについて解き、解のみを１～３個出力する*)
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シンボルの説明やオプションを表示する †

?hoge          # hogeの説明を表示
?*hoge         # *hogeの関数名一覧を表示（ワイルドカードも利用可）
Options[hoge]  # hoge関数で利用できるオプションの一覧表示
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結果を出力しない †

hoge;          #式hogeの末尾に、セミコロンを付ける
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置換表示、変換規則 †

/.    置換表示
->    変数規則

      例) x^2 /. x -> 2
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仮定 †

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仮定の作り方 †

assump = Assumptions -> {x0 ∈ Reals && px0 ∈ Reals &&
                         t >= 0 && w > 0 && x ∈ Reals && k ∈ Reals }
などする。そして、
  Integrate[ func[x], {x,-Infinity,Infinity}, assump ]
  Simplify[ func[x], assump ]
で利用する。
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大域的な仮定の設定 †

Simplify, Refine Integrate等で使われる。
$Assumptions この値がTrueのとき大域的な仮定は無い。

設定例）
$Assumptions = {x \[Element] Reals && y \[Element] Reals && 
  z \[Element] Reals && Rx \[Element] Reals && Ry \[Element] Reals && 
  Rz \[Element] Reals && A > 0 && a > 0 && b > 0 && r >= 0}

$Assumptions = True
で設定を無くす
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初期化やクリア †

ClearAll["Global`*"]  #何もかもをクリアする

ClearAll[x]           #変数xの何もかもをクリアする

詳しくはmanualをみよ。
  Clear[ hoge ]     値、定義をクリア
  Clear["Global`*"] 現行のセッションで作成された値、定義をすべてクリア
  ClearAll[ hoge ]  記号の値、定義、属性、メッセージ、デフォルト設定をクリア
  Remove[ hoge ]    シンボルの名前が認識されないように、完全に除去
<< Utilities`CleanSlate`　#この２行で、Clear["Global`*"]をし、In/Out番号も初期化し、
CleanSlate[]              #開放メモリ量のレポートも出すらしい

?Utilities`CleanSlate`* 　#詳細はこちら
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行列 †

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行列を作る †

m={
   {1,2,3},
   {4,5,6}
  }
Table[ x^i*y^j, {i, 1, 3}, {j, 1, 2}]
m=DiagonalMatrix[{1,2,3,4}]    (* 対角行列 *)
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行列要素を取り出す †

m[[1,All]]  (* mの1行目だけ取り出す。mは2次元配列より大くても同様に指定可 *)
Part[m,1,All]  (* 〃 *)
m[[1;;1, 1;;2]]  (* 1-1行目ｘ1-2列目からなる部分行列 *)
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行列表記やテーブルで表示 †

m // MatrixForm  (* 行列表記で出力 *)
m // TableForm   (* テーブルで出力,要素を並べる *)
または
MatrixForm[m]
TableForm[m]

なお、//MatrixForm をつけた形で行列を、変数に代入すると、
その後の行列積などが計算できない。
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行列の積、転置、逆行列 †

A.B             (* 積 *)
Transpose[A]    (* 転置 *)
Inverse[A]      (* 逆行列 *)
MatrixPower[A,n]  (* 行列Aの n乗 *)

A*B  (* 行列A,Bの各要素をお互いに掛ける *)
A^n  (* 行列Aの各要素を n乗する *)
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ベクトル †

ベクトルは、１行または１列の行列として扱う。
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ノルム †

Norm[v]    ベクトルのノルム、行列のノルム（詳細は調べよ）
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直積(テンソル積)の例 †

AB = {
   {a11  b11, a11 b12, a12 b11, a12 b12},
   {a11  b21, a11 b22, a12 b21, a12 b22},
   {a21  b11, a21 b12, a22 b11, a22 b12},
   {a21  b21, a21 b22, a22 b21, a22 b22}
   };
CC = Transpose[{{C0' C0'', C0' C1'', C1' C0'', C1' C1''}}];
A = {
   {a11, a12},
   {a21, a22}
   };
B = {
   {b11, b12},
   {b21, b22}
   };
C'  = Transpose[{{C0', C1'}}];
C'' = Transpose[{{C0'', C1''}}];
AB // MatrixForm
CC // MatrixForm
A  // MatrixForm
B  // MatrixForm
C'  // MatrixForm
C'' // MatrixForm

(*A \[TensorProduct] B //MatrixForm*) (* \[ TensorProduct ] で入力可 *)
(* TensorProduct[A,B] //MatrixForm *)
KroneckerProduct[A, B] // MatrixForm (*直積*)

lhs = KroneckerProduct[A, B].CC;
lhs // MatrixForm
rhs = Expand[KroneckerProduct[(A.C'), (B.C'')]];
rhs // MatrixForm
lhs - rhs // MatrixForm
(*他*)
Dimensions[A]
Dimensions[A // MatrixForm]
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グラフ描画 †

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Plot †

(*例1*)
Plot[{
  b*(Exp[k*(b - a)*t] - 1)/(b/a*Exp[k*(b - a)*t] - 1) /. { a -> 1, b -> 0.5, k -> 1},
  b*(Exp[k*(b - a)*t] - 1)/(b/a*Exp[k*(b - a)*t] - 1) /. { a -> 1, b -> 2, k -> 1},
  a*a*k*t/(a*k*t + 1) /. { a -> 1, k -> 1}
  },
  {t, 0, 10} ] 
(*例2*)
omega1 = 0.00288;
E01 = 7.76; (*V/Ang*)
Eenv[t_] := Which[ 
  t < 2 Pi / omega1, omega1*t/2/Pi,
  t < 4 Pi / omega1, 2 - omega1*t/2/Pi,
  True, 0]
Elaser1[t_] := Eenv[t]*(E01*Sin[omega1*t])
Plot[{Elaser1[t], Eenv[t], E01*Sin[omega1*t]}, {t, 0, 2500*100/10}, 
 PlotLegends -> "Expressions",
 PlotRange -> {-10, 10}, 
 GridLines -> Automatic,
 AxesLabel -> {"au(time)", "V/Ang"}, 
 PlotStyle -> {Thickness[0.01], Thickness[0.01], {Dashed, Thickness[0.0001]}}]
(*例3*)
omega2 = 0.00144;
E02 = 2.74 ;(*V/Ang*)
Elaser2[t_] := (Sin[omega2*t/16])^2*(E02*Cos[omega2*t])
Plot[{Elaser2[t], (Sin[omega2*t/16])^2, E02*Cos[omega2*t]}, {t, 0, 2500*100/3},
 PlotLegends -> "Expressions",
 PlotRange -> {-3, 3}, 
 GridLines -> Automatic,
 AxesLabel -> {"au(time)", "V/Ang"}, 
 PlotStyle -> {Thickness[0.01], Thickness[0.01], {Dashed, Thickness[0.0001]}}]
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線の太さ指定 †

PlotStyle -> { Thickness[0.005] }    #0.005がデフォルトに近い
↑

凡例の表示 †

PlotLegends -> "Expressions"
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線を太くして破線にする †

PlotStyle -> { Thickness[0.01],
               Thickness[0.01],
               {Dashed, Thickness[0.005]},
               {Dashed, Thickness[0.005]} }  #４本分指定
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線の色の指定 †

PlotStyle -> { {Blue, Thickness[0.01]},
               {Orange, Thickness[0.01]},
               {Blue, Dashed, Thickness[0.005]},
               {Orange, Dashed, Thickness[0.005]}}
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縦横のスケールを同じにしてグラフを描きたい †

例えば、
Plot[ {0.3*Sin[x],x},
      {x, -3, 12}, PlotRange -> {-0.74, 0.74}, AspectRatio -> 1/10,
      ImageSize -> Full ]
  # 横軸幅 15、縦軸幅 1.5、縦横比が 1.5/15=1/10なので、スケールは同じくなる。
  # ImageSize->Fullを付けるとウィンドウ幅に合わせて拡大されたグラフが描かれる。
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Plot3D †

(* z^(1/3)=Exp[1/3 Log[Abs[z]] + I/3 Arg[z]+I/3* 2 m Pi
   where -Pi<=Arg[z]<Pi and m=0,1,2 のリーマン面を描く *)
Plot3D[ {
    Arg[( x + I*y)^(1/3)] + 0* 2 Pi /3, (*m=0,mathematicaでの主値の範囲*)
    Arg[( x + I*y)^(1/3)] + 1* 2 Pi /3, (*m=1*)
    Arg[( x + I*y)^(1/3)] + 2* 2 Pi /3  (*m=2*)
  },
 {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
 AxesLabel -> Automatic,       (*軸ラベルを表示*)
 PlotLegends -> "Expressions"  (*凡例表示。ひとつだと出ない*),
 LabelStyle -> Directive[Bold, Medium], (*軸ラベルを太く大きく*)
 Mesh -> 3,
 PlotStyle -> {Opacity[0.8]},    (*透過度。色も可*)
 ExclusionsStyle -> {None, Red}, (*値が飛ぶ所を描かない・端を赤色にする*)
 Ticks -> {Automatic, Automatic, {-Pi, -Pi/2, 0, Pi/2, Pi, 3/2 Pi}}, (*軸目盛*)
 ViewPoint -> {-5, -3.4, 3}*1000
]
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関数の定義 †

z[r_, t_] := r Exp[ I t ]
S[n_, x_] := Which[ n == 0, Which[ x < -1, 0,
                                   x < 0, 1 - 3*x^2 - 2*x^3,
                                   x < 1, 1 - 3*x^2 + 2*x^3,
                                   True, 0],
                    n == 1, Which[ x < -1, 0,
                                   x < 0, x + 2*x^2 + x^3,
                                   x < 1, x - 2*x^2 + x^3, 
                                   True, 0]] 
myarg[ a_ ] := Module[ {rcd = a}, (* ローカル変数を定義・初期化 *)
   While[rcd >=  Pi, rcd = rcd - 2 Pi];
   While[rcd < - Pi, rcd = rcd + 2 Pi];
   rcd];
↑

式展開やまとめ †

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基本 †

Expand    # 展開
Factor    # 因数分解
Cancel    # 約分
Simplify[ hoge, [assump]]      # 式hogeを簡単にする。assumpで仮定を指定できる。

FullSimplify[ hoge, [assump]]  # 初等関数と特殊関数を含む式hogeを簡単にする。
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いろいろな展開・簡約のシンボル †

Expand[expr]        式の積とベキ乗の項を展開
ExpandAll[expr]     すべての項にExpandを適用
Factor[expr]        因子の積の形に変換
Together[expr]      通分し単一分数にまとめる
Apart[expr]         簡単な形の分母を持った複数の分数項に展開
Cancel[expr]        分母と分子の共通因子を約分する
Simplify[expr]      式 exprに代数変形を試し，最も短い式の形を探す
{Numerator[expr], Denominator[expr]}    式 exprの分子と分母のリストを作る

Collect[expr,x]     xの同じ次数の項をまとめる
FactorTerms[expr,x] xに依存しない因子を取り出す

TrigExpand[expr]     三角関数の式を項の和の形に展開
TrigFactor[expr]     三角関数の式を項の積の形に分解
TrigReduce[expr]     整数倍の角度を用いて三角関数を簡約
TrigToExp[expr]      三角関数を指数関数に変形
ExpToTrig[expr]      指数関数を三角関数に変形
FunctionExpand[expr] 特殊関数やその他の関数を展開
ComplexExpand[expr]  すべての変数が実数からなるとした上で式を展開
PowerExpand[expr]    例えば(xy)^p を x^p y^p に展開する
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For文 †

(例)
NN = 10;
For[j = 0, j < NN, j++,
  a = 1 - ((j - 1/2*(NN - 1))/(1/2*(NN + 1)))^2;
  Print["j=", j, " a=", N[a, 3]];
];
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