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howto/mathematica †一行メモ †
(* ちょっと複雑な例 *)
inSin[A_, w_, k_, t_, x_] := A*Sin[w*t + k*x]
outSin[A_, w_, k_, t_, x_] := A*Sin[w*t - k*x + Pi]
cwInSin[\[Rho]0_, A_, w_, k_, t_, x_] := \[Rho]0/(1 + k*A*Cos[w*t + k*x])
cwOutSin[\[Rho]0_, A_, w_, k_, t_, x_] := \[Rho]0/(1 - k*A*Cos[w*t - k*x + Pi])
cwInSinPlusOutSin[\[Rho]0_, A_, w_, k_, t_, x_] := \[Rho]0/(1 + k*A*Cos[w*t + k*x] - k*A*Cos[w*t - k*x + Pi])
Manipulate[
Plot[{
inSin[A, w, k, t, x], outSin[A, w, k, t, x],
inSin[A, w, k, t, x] + outSin[A, w, k, t, x], x,
(cwInSin[\[Rho]0, A, w, k, t, x] - \[Rho]0), (cwOutSin[\[Rho]0, A, w, k, t, x] - \[Rho]0), (cwInSinPlusOutSin[\[Rho]0, A, w, k, t, x] - \[Rho]0), (\[Rho]0)
},
{x, -3, 12}, PlotRange -> {-0.74*range, 0.74*range},
AspectRatio -> ratio, ImageSize -> 600,
PlotStyle -> {
{Red, Thickness[0.0003]}, {Green, Thickness[0.0003]}, {Blue, Thickness[0.003]}, {Black, Thickness[0.0003]},
{Magenta, Dashed, Thickness[0.002]}, {RGBColor[0, 0.7, 0], Dashed, Thickness[0.002]}, {Cyan, Thickness[0.004]}, {Black, Dashed, Thickness[0.0003]}
},
PlotLegends -> {
"inSin 入射波", "outSin 反射波", "inSin+outSin 合成波", "x 参考",
"cw InSin 入射波の密度変化", "cw OutSin 反射波の密度変化", "cw InSin+OutSin 合成波の密度変化", "\[Rho]0 波が無いときの媒質密度"
}],
{{ratio, 0.5, "ranito(縦横比を変更)"}, 1/10, 1, Appearance -> "Labeled"},
{{\[Rho]0, 3, "媒質の密度"}, 0, 5, Appearance -> "Labeled"},
{{range, 5, "range(縦軸幅を変更)"}, 1, 20, Appearance -> "Labeled"},
{{A, 0.45, "振幅(入射波,反射波)"}, 0, 1/(2*k), Appearance -> "Labeled"},
{{w, 1, "角振動数"}, 0, 10, Appearance -> "Labeled"},
{{k, 1, "波数"}, 0, 2, Appearance -> "Labeled"},
{{t, 0.544, "時刻"}, 0, 2*Pi/w, Appearance -> "Labeled"},
ControlPlacement -> {Top}
]
ver.11では次のように代替できそうである。 (* 複素関数のプロット 2021/12/13 *)
Options[ParametricPlot3DComplex] = {
"inc" -> 0, (* Arg[]の結果にincを足す。z^(1/n)などの単純な場合のみ、リーマン面の葉を描くのに有効だろう。0は主分枝を描く。 *)
"pRange" -> {Automatic, Automatic, {0, 5}}, (* プロットする範囲{実軸,虚軸,Abs軸} *)
"LogAbs" -> "LogAbs", (* プロットの縦軸を対数にするかなど, Abs, LogAbs, LogLogAbs *)
"domainScale" -> 1(* 定義域をdomainScale倍に広げる *)
};
ParametricPlot3DComplex[funcz_, OptionsPattern[]] :=
Module[{myAbs, myAxesLabel},
Switch[ OptionValue["LogAbs"],
"LogLogAbs",{(* Log Log scale *) myAbs = Log[Log[Abs[funcz /. {z -> x + I*y}]]]; myAxesLabel = {"Re", "Im", "LogLogAbs"};},
"LogAbs", {(* Log scale *) myAbs = Log[Abs[funcz /. {z -> x + I*y}]]; myAxesLabel = {"Re", "Im", "LogAbs"}; },
_, {(* Normal scale *) myAbs = Abs[funcz /. {z -> x + I*y}]; myAxesLabel = {"Re", "Im", "Abs"}; }
];
ParametricPlot3D[{x, y, myAbs},
{x, -3*OptionValue["domainScale"], 3*OptionValue["domainScale"]},
{y, -3*OptionValue["domainScale"], 3*OptionValue["domainScale"]},
PlotRange -> OptionValue["pRange"], AxesLabel -> myAxesLabel,
ViewPoint -> {0, 0, Infinity} (*Above*),
ColorFunction -> Function[{px, py, pz}, Hue[(Arg[funcz /. {z -> px + I*py}] + OptionValue["inc"])/(2*Pi)]],
ColorFunctionScaling -> False,
MeshFunctions -> {Function[{px, py, pz}, (Arg[funcz /. {z -> px + I*py}] + OptionValue["inc"])/(2*Pi)],
Function[{px, py, pz}, pz]},
PlotStyle -> Opacity[1.0], Mesh -> 10, PlotPoints -> 30, MaxRecursion -> 5,
Lighting -> {{"Ambient", RGBColor[.8, .8, .8]}}]]
(* 複素関数のプロットのカラーマップ *)
ParametricPlot3DComplexColormap[] := Module[{anglelist},
anglelist = {1, 1 + I, I, -1 + I, -1, -1 - I, -I, 1 - I, 1 - I/1000};
MatrixForm[{
Table[Hue[N[Arg[e]/(2*Pi)]], {e, anglelist}],(*Hue[負値]は、負値に整数が加えられ0～1に範囲になるようだ*)
Table[N[Arg[e]/(2*Pi)], {e, anglelist}],
Table[Arg[e], {e, anglelist}]}]]
実行例 ParametricPlot3DComplexColormap[]  ParametricPlot3DComplex[Log[z], "inc"->0, "pRange"->{Automatic, Automatic, {0, 5}},
"LogAbs"->"Abs", "domainScale"->1]
や
ParametricPlot3DComplex[Log[z]]
ParametricPlot3DComplex[Exp[z], "inc"->0, "pRange"->{Automatic, Automatic, {0, 7}},
"LogAbs"->"Abs", "domainScale"->2.09]
(注)黒い波線は数値計算上の問題だろう ParametricPlot3DComplex[z, "inc"->0, "pRange"->{Automatic, Automatic, {0, 5}},
"LogAbs"->"Abs", "domainScale"->1]
[c.f.] https://mathrelish.com/mathematics/singularity-in-complex-analysis
マニュアル・リンクなど †
いろいろなこと †適度な印刷方法 †「一般的な場合」 ファイル→印刷設定→印刷オプションで、 セルのブラケットを印刷と、領域マークを印刷のチェックをする、 マージン設定で上下左右の余白を5mmにする（左右の余白が大きすぎるため） →A3でpdfとして印刷 →AcrobatでA4に縮小印刷 「長い数式を印刷する場合」 ファイル→印刷設定→印刷用環境 →Condensedを選ぶ（表示画面と似た感じで、やや小さめのカラーで印刷できる） （Printoutだと白黒で行間がもう少し狭めになる） ファイル→印刷設定→印刷オプション →マージンを 20mmに小さくする。 A2サイズ横で、pdf出力してから、pdfをA4サイズに縮小して印刷する。 定数 †虚数単位 I ネイピア数 E 円周率 Pi 無限大 Infinity 関数 †Exp, Log Sqrt Abs, Arg Sign Sin, Cos, Tan ギリシャ文字の入力 †\[Alpha] で α になる \[Theta] で θ 下付き、上付き、二次元式 †下付き文字をつけたい文字を選択か文字の直後で、Ctrl+マイナス(-) を押す→プレースフォルダ があらわれる 上付き文字をつけたい文字（べき乗になる）を選択し、Ctrl+^ を押す →プレースフォルダ 分子の入力後、Ctrl+/ で分数の分母を二次元式で入力できる、らしい Ctrl-Enter で列ベクトルの次の行の入力ができる 表示形式 †InputForm["hogehoge"] # 数式hogehogeを、一次元の形式（通常の入力に使われる形式）で表示 OutputForm["hogehoge"] # 通常の画面に出る形式で表示 StandardForm["hogehoge"] # see manual（たぶん通常はOutputFormと同じ） FullForm["hogehoge"] # see manual（たぶん使うことはない） Style[ hogehoge, Smaller ] やや小さいフォントで出力する 近似値、四捨五入など †N[ hogehoge, [桁数] ]//InputForm # hogehogeを数値として表示する。 # //InputFormを付けると一次元の入力形式で得られるが、 # 指定した桁数以上（25～50桁など）が出力される。 # 10のべき乗部分は、`桁数*^10 となる。 Round[...] #数値で、四捨五入して出力 Floor[...] #数値で、切り捨てして出力 Ceiling[...] #数値で、切上げして出力 極限 †Limit[expr, x->a] #exprのx->aの極限を計算する テーラー展開 †Series[ expr, {x,x0,n} ] #x=x0でn次までexprをテイラー展開する
Normal[ Series[ expr, {x,x0,n} ] ] #余剰項を除く形を得る
微分、積分 †D[] 微分。高階微分はmanualをみよ Integrate[ ] 積分。重積分はmanualをみよ
仮定付き積分の例） Integrate[s*Exp[-s^2/2], {s, 0, x}, Assumptions-> {x > 0}]
方程式を解く †Solve[ 式, 解く変数 ]
x /. Solve[ 式, x ] (*xの解のみのリスト出力する
（Solveは変換規則のリストとして解を出力する。そのため、余分な所を消すのに置換表示している）*)
例） Part[z /. Solve[1 - 3*z^2 + 2*z^3 == x, z], 1 ;; 3] (*方程式をzについて解き、解のみを１～３個出力する*) シンボルの説明やオプションを表示する †?hoge # hogeの説明を表示 ?*hoge # *hogeの関数名一覧を表示（ワイルドカードも利用可） Options[hoge] # hoge関数で利用できるオプションの一覧表示 結果を出力しない †hoge; #式hogeの末尾に、セミコロンを付ける 置換表示、変換規則 †/. 置換表示
-> 変数規則
例) x^2 /. x -> 2
仮定 †仮定の作り方 †assump = Assumptions -> {x0 ∈ Reals && px0 ∈ Reals &&
t >= 0 && w > 0 && x ∈ Reals && k ∈ Reals }
などする。そして、
Integrate[ func[x], {x,-Infinity,Infinity}, assump ]
Simplify[ func[x], assump ]
で利用する。
大域的な仮定の設定 †Simplify, Refine Integrate等で使われる。
$Assumptions この値がTrueのとき大域的な仮定は無い。
設定例）
$Assumptions = {x \[Element] Reals && y \[Element] Reals &&
z \[Element] Reals && Rx \[Element] Reals && Ry \[Element] Reals &&
Rz \[Element] Reals && A > 0 && a > 0 && b > 0 && r >= 0}
$Assumptions = True
で設定を無くす
初期化やクリア †ClearAll["Global`*"] #何もかもをクリアする ClearAll[x] #変数xの何もかもをクリアする 詳しくはmanualをみよ。 Clear[ hoge ] 値、定義をクリア Clear["Global`*"] 現行のセッションで作成された値、定義をすべてクリア ClearAll[ hoge ] 記号の値、定義、属性、メッセージ、デフォルト設定をクリア Remove[ hoge ] シンボルの名前が認識されないように、完全に除去 << Utilities`CleanSlate` #この２行で、Clear["Global`*"]をし、In/Out番号も初期化し、 CleanSlate[] #開放メモリ量のレポートも出すらしい ?Utilities`CleanSlate`* #詳細はこちら 行列 †行列を作る †m={
{1,2,3},
{4,5,6}
}
Table[ x^i*y^j, {i, 1, 3}, {j, 1, 2}]
m=DiagonalMatrix[{1,2,3,4}] (* 対角行列 *)
行列要素を取り出す †m[[1,All]] (* mの1行目だけ取り出す。mは2次元配列より大くても同様に指定可 *) Part[m,1,All] (* 〃 *) m[[1;;1, 1;;2]] (* 1-1行目ｘ1-2列目からなる部分行列 *) 行列表記やテーブルで表示 †m // MatrixForm (* 行列表記で出力 *) m // TableForm (* テーブルで出力,要素を並べる *) または MatrixForm[m] TableForm[m] なお、//MatrixForm をつけた形で行列を、変数に代入すると、 その後の行列積などが計算できない。 行列の積、転置、逆行列 †A.B (* 積 *) Transpose[A] (* 転置 *) Inverse[A] (* 逆行列 *) MatrixPower[A,n] (* 行列Aの n乗 *) A*B (* 行列A,Bの各要素をお互いに掛ける *) A^n (* 行列Aの各要素を n乗する *) ベクトル †ベクトルは、１行または１列の行列として扱う。 ノルム †Norm[v] ベクトルのノルム、行列のノルム（詳細は調べよ） 直積(テンソル積)の例 †AB = {
{a11 b11, a11 b12, a12 b11, a12 b12},
{a11 b21, a11 b22, a12 b21, a12 b22},
{a21 b11, a21 b12, a22 b11, a22 b12},
{a21 b21, a21 b22, a22 b21, a22 b22}
};
CC = Transpose[{{C0' C0'', C0' C1'', C1' C0'', C1' C1''}}];
A = {
{a11, a12},
{a21, a22}
};
B = {
{b11, b12},
{b21, b22}
};
C' = Transpose[{{C0', C1'}}];
C'' = Transpose[{{C0'', C1''}}];
AB // MatrixForm
CC // MatrixForm
A // MatrixForm
B // MatrixForm
C' // MatrixForm
C'' // MatrixForm
(*A \[TensorProduct] B //MatrixForm*) (* \[ TensorProduct ] で入力可 *)
(* TensorProduct[A,B] //MatrixForm *)
KroneckerProduct[A, B] // MatrixForm (*直積*)
lhs = KroneckerProduct[A, B].CC;
lhs // MatrixForm
rhs = Expand[KroneckerProduct[(A.C'), (B.C'')]];
rhs // MatrixForm
lhs - rhs // MatrixForm
(*他*) Dimensions[A] Dimensions[A // MatrixForm] グラフ描画 †Plot †(*例1*)
Plot[{
b*(Exp[k*(b - a)*t] - 1)/(b/a*Exp[k*(b - a)*t] - 1) /. { a -> 1, b -> 0.5, k -> 1},
b*(Exp[k*(b - a)*t] - 1)/(b/a*Exp[k*(b - a)*t] - 1) /. { a -> 1, b -> 2, k -> 1},
a*a*k*t/(a*k*t + 1) /. { a -> 1, k -> 1}
},
{t, 0, 10} ]
(*例2*)
omega1 = 0.00288;
E01 = 7.76; (*V/Ang*)
Eenv[t_] := Which[
t < 2 Pi / omega1, omega1*t/2/Pi,
t < 4 Pi / omega1, 2 - omega1*t/2/Pi,
True, 0]
Elaser1[t_] := Eenv[t]*(E01*Sin[omega1*t])
Plot[{Elaser1[t], Eenv[t], E01*Sin[omega1*t]}, {t, 0, 2500*100/10},
PlotLegends -> "Expressions",
PlotRange -> {-10, 10},
GridLines -> Automatic,
AxesLabel -> {"au(time)", "V/Ang"},
PlotStyle -> {Thickness[0.01], Thickness[0.01], {Dashed, Thickness[0.0001]}}]
(*例3*)
omega2 = 0.00144;
E02 = 2.74 ;(*V/Ang*)
Elaser2[t_] := (Sin[omega2*t/16])^2*(E02*Cos[omega2*t])
Plot[{Elaser2[t], (Sin[omega2*t/16])^2, E02*Cos[omega2*t]}, {t, 0, 2500*100/3},
PlotLegends -> "Expressions",
PlotRange -> {-3, 3},
GridLines -> Automatic,
AxesLabel -> {"au(time)", "V/Ang"},
PlotStyle -> {Thickness[0.01], Thickness[0.01], {Dashed, Thickness[0.0001]}}]
線の太さ指定 †PlotStyle -> { Thickness[0.005] } #0.005がデフォルトに近い
凡例の表示 †PlotLegends -> "Expressions" 線を太くして破線にする †PlotStyle -> { Thickness[0.01],
Thickness[0.01],
{Dashed, Thickness[0.005]},
{Dashed, Thickness[0.005]} } #４本分指定
線の色の指定 †PlotStyle -> { {Blue, Thickness[0.01]},
{Orange, Thickness[0.01]},
{Blue, Dashed, Thickness[0.005]},
{Orange, Dashed, Thickness[0.005]}}
縦横のスケールを同じにしてグラフを描きたい †例えば、
Plot[ {0.3*Sin[x],x},
{x, -3, 12}, PlotRange -> {-0.74, 0.74}, AspectRatio -> 1/10,
ImageSize -> Full ]
# 横軸幅 15、縦軸幅 1.5、縦横比が 1.5/15=1/10なので、スケールは同じくなる。
# ImageSize->Fullを付けるとウィンドウ幅に合わせて拡大されたグラフが描かれる。
Plot3D †(* z^(1/3)=Exp[1/3 Log[Abs[z]] + I/3 Arg[z]+I/3* 2 m Pi
where -Pi<=Arg[z]<Pi and m=0,1,2 のリーマン面を描く *)
Plot3D[ {
Arg[( x + I*y)^(1/3)] + 0* 2 Pi /3, (*m=0,mathematicaでの主値の範囲*)
Arg[( x + I*y)^(1/3)] + 1* 2 Pi /3, (*m=1*)
Arg[( x + I*y)^(1/3)] + 2* 2 Pi /3 (*m=2*)
},
{x, -2, 2}, {y, -2, 2},
AxesLabel -> Automatic, (*軸ラベルを表示*)
PlotLegends -> "Expressions" (*凡例表示。ひとつだと出ない*),
LabelStyle -> Directive[Bold, Medium], (*軸ラベルを太く大きく*)
Mesh -> 3,
PlotStyle -> {Opacity[0.8]}, (*透過度。色も可*)
ExclusionsStyle -> {None, Red}, (*値が飛ぶ所を描かない・端を赤色にする*)
Ticks -> {Automatic, Automatic, {-Pi, -Pi/2, 0, Pi/2, Pi, 3/2 Pi}}, (*軸目盛*)
ViewPoint -> {-5, -3.4, 3}*1000
]
関数の定義 †z[r_, t_] := r Exp[ I t ] S[n_, x_] := Which[ n == 0, Which[ x < -1, 0,
x < 0, 1 - 3*x^2 - 2*x^3,
x < 1, 1 - 3*x^2 + 2*x^3,
True, 0],
n == 1, Which[ x < -1, 0,
x < 0, x + 2*x^2 + x^3,
x < 1, x - 2*x^2 + x^3,
True, 0]]
myarg[ a_ ] := Module[ {rcd = a}, (* ローカル変数を定義・初期化 *)
While[rcd >= Pi, rcd = rcd - 2 Pi];
While[rcd < - Pi, rcd = rcd + 2 Pi];
rcd];
式展開やまとめ †基本 †Expand # 展開 Factor # 因数分解 Cancel # 約分 Simplify[ hoge, [assump]] # 式hogeを簡単にする。assumpで仮定を指定できる。 FullSimplify[ hoge, [assump]] # 初等関数と特殊関数を含む式hogeを簡単にする。 いろいろな展開・簡約のシンボル †Expand[expr] 式の積とベキ乗の項を展開
ExpandAll[expr] すべての項にExpandを適用
Factor[expr] 因子の積の形に変換
Together[expr] 通分し単一分数にまとめる
Apart[expr] 簡単な形の分母を持った複数の分数項に展開
Cancel[expr] 分母と分子の共通因子を約分する
Simplify[expr] 式 exprに代数変形を試し，最も短い式の形を探す
{Numerator[expr], Denominator[expr]} 式 exprの分子と分母のリストを作る
Collect[expr,x] xの同じ次数の項をまとめる
FactorTerms[expr,x] xに依存しない因子を取り出す
TrigExpand[expr] 三角関数の式を項の和の形に展開
TrigFactor[expr] 三角関数の式を項の積の形に分解
TrigReduce[expr] 整数倍の角度を用いて三角関数を簡約
TrigToExp[expr] 三角関数を指数関数に変形
ExpToTrig[expr] 指数関数を三角関数に変形
FunctionExpand[expr] 特殊関数やその他の関数を展開
ComplexExpand[expr] すべての変数が実数からなるとした上で式を展開
PowerExpand[expr] 例えば(xy)^p を x^p y^p に展開する
For文 †(例) NN = 10; For[j = 0, j < NN, j++, a = 1 - ((j - 1/2*(NN - 1))/(1/2*(NN + 1)))^2; Print["j=", j, " a=", N[a, 3]]; ]; |
ListPlot_data_on_x_axis.png 31件
[詳細]
ParametricPlot3DComplex_z_2.png 48件
[詳細]
ParametricPlot3DComplex_z.png 42件
[詳細]
ParametricPlot3DComplex_Exp_z_2.png 46件
[詳細]
ParametricPlot3DComplex_Exp_z.png 47件
[詳細]
ParametricPlot3DComplex_Log_z_2.png 41件
[詳細]
ParametricPlot3DComplex_Log_z.png 140件
[詳細]
ParametricPlot3DComplexColormap.png 271件
[詳細]
